希尔伯特空间与巴拿赫空间的关系
列向量两两正交是正交矩阵吗？
列向量两两正交是正交矩阵吗？
可以，因为这组向量可以构成一个标准的正交基。
在线性代数中，内积空间的正交基是每两个元素的正交基。基中的元素称为基向量。如果一个正交基的基向量的模长都是1，则称为标准正交基或标准正交基。
在线性代数中，内积空间的正交基是每两个元素的正交基。基中的元素称为基向量。如果一个正交基的基向量的模长都是1，那么这个正交基叫做标准正交基。
正交基的概念在有限和无限维空间中都是非常重要的。在无限维Hilbert空间中，正交基不再是Hammel基，这意味着不是每个元素都可以写成有限基中元素的线性组合。因此，在无限维空间中，正交基应该更严格地定义为一组线性无关且正交的元素，生成空间是原空间的稠密子空间(不是整个空间)。
注意单词 "正交基 "在一个没有定义内积的空间里是没有意义的。因此，Banach空间有正交基当且仅当它是Hilb
希尔伯特空间的确切定义？
在数学领域，希尔伯特空间是欧氏空间的推广，不再局限于有限维的情况。与欧氏空间类似，希尔伯特空间也是一个内积空间，有距离和角度的概念(以及由此衍生的正交性和垂直度的概念)。另外，希尔伯特空间是一个完备的空间，其上的所有柯西列都等价于收敛列，所以微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间。希尔伯特空间为任意正交系中基于多项式表示的傅里叶级数和傅里叶变换提供了一种有效的表达，这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公式数学和量子力学中的关键概念之一。
复向量空间h的给定内积范数可以导出如下:
如果这个空间对于这个范数是完备的，则称它为希尔伯特空间。这里的完备性是指任何柯西列收敛于这个空间中的一个元素，即它们与一个元素的范数差的极限为0。任何希尔伯特空间都是巴拿赫空间，但反之不一定成立。
任何有限维内积空间(如欧氏空间及其点积)都是希尔伯特空间。但从实际应用的角度来看，无限希尔伯特空间更有价值，如
*酉群的表示理论。
*平方可积随机过程理论。
*希尔伯特空间偏微分方程理论，特别是狄利克雷问题。
*函数的谱分析和小波理论。
*量子力学的数学描述。
内积可以帮助人们从 "几何 "观点，并用有限维空间中的几何语言来描述希尔伯特空间。在所有无限维拓扑向量空间中，Hilbert空间的性质最好，最接近有限维空间的情况。
傅立叶分析的一个重要目的是将给定函数表示为一族给定基函数的和(可能是无限和)。这个问题在希尔伯特空间中可以更抽象地描述:任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交基，每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这一族基中的元素之和或它们的倍数。