如何判断函数满足拉格朗日值定理
二元函数的拉格朗日中值公式？
二元函数的拉格朗日中值公式？
1、拉格朗日中值定理 如果函数yf(x)在闭区间a≤x≤b上连续且在开区间a≤x≤b上可微，那么在此区间内部至少存在一个中间值u,使得 F(b)-f(a)/b-af(u). 其中a＜u＜b 2、多元函数中值定理不成立。 但存在拟微分平均值定理 设D是一凸域，多元函数f(D)Y。
利用拉格朗日中值定理证明x＞0时，x＞arctanx？
设f(x)x-arctanx
根据拉格朗日中值定理
则存在0f(t)[f(b)-f(a)]/b-a
由于
f(t)1-1/(1 t^2)0
从而
[f(b)-f(a)]/b-a0
f(b)-f(a)0
此函数为增函数
f（0）0
从而当x0时,x＞arctanx
为什么罗尔定理可以证明拉格朗日中值定理？
罗尔定理可知。
fafb时，存在某点e，使f′e0。
开始证明拉格朗日。
假设一函数fx。
目标：证明fb-faf′e(b-a)，即拉格朗日。
假设fx来做成一个毫无意义的函数，fx-(fb-fa)/(b-a)*x，我们也不知道他能干啥，是我们随便写的一个特殊函数，我们令它等于Fx。
这个特殊函数在于，这个a和b，正好满足FbFa，且一定存在这个a和b。
此时就有罗尔定理的前提了。
于是得出有一个e，能让F′e0(罗尔定理)
即(fx-(fb-fa)/(b-a)*x)′，
上面求导等于f′x-(fb-fa)/(b-a)。
将唯一的x带换成e，并且整个式子等于0。
变成f′e-(fb-fa)/(b-a)0→
f′e(fb-fa)/(b-a)→
f′e(b-a)(fb-fa)。
扩展资料
证明过程
证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
1. 若 Mm，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2. 若 Mgtm，则因为 f(a)f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f#39(ξ)0。
另证：若 Mgtm ，不妨设f(ξ)M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f#39(ξ )lt0，f#39(ξ-)gt0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。
几何意义
若连续曲线yf(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。